수학, 무한이 아름다운 이유를 찾는 법

수학 책이라고 겁먹지 마시라. 미국 시카고 아트 인스티튜트 스쿨 전속 과학자인 ‘무한을 넘어서’ 저자는 세상에서 수학 공포증을 몰아내는 것을 인생의 사명으로 삼고 있다. 이 수학자는 ‘스콘에 들어갈 크림의 완벽한 양을 재는 방정식’과 ‘완벽한 크기의 피자를 만들기 위한 수학 공식’ 등 기상천외한 논문으로 세계를 깜짝 놀라게 하고 있다.

책은 ‘무한(無限)’이라는 수학 개념을 흥미진진하게 추적한 대중서다. 저자가 이 개념을 설명하기 위해 길잡이로 삼은 것은 ‘힐베르트 호텔’이다. 이 이름은 무한에 대해 연구한 수학자 다비트 힐베르트에게 따왔다. 객실이 무한히 많은 호텔의 지배인이 됐다고 상상해 보라고 한다. 객실 방 번호는 자연수 ‘1, 2, 3…’으로 무한히 이어진다.

호텔 객실이 다 찼는데 또 다른 손님이 도착해서 방을 달라고 한다. 어떻게 할 것인가. 답은 간단하다. 이미 들어와 있는 투숙객에게 방을 한 칸씩만 옮겨 달라고 하면 된다. 1번 방 손님을 2번 방으로, 2번 방 손님을 3번 방으로, 한 칸씩 옮길 수 있다. ‘N’번방 손님에게 ‘N+1’번 방으로 옮겨 달라고 한다. 그렇게 새 손님을 받을 수 있다.

하지만 추가로 무한의 수의 손님이 찾아오면 어떻게 될까. 무한의 칸만큼 옮겨 달라고 할 순 없다. ‘1+∞’번 방은 번호가 아니기 때문이다. 이땐 모든 투숙객에게 원래의 방 번호에 2를 곱한 방으로 옮기라고 할 수 있다. 이런 식으로 모든 손님을 무한 호텔의 방에 배정할 수 있지만 무리수 무한 호텔이 등장하면 곤란해진다.

저자는 이렇게 재미있는 비유와 그림을 통해 무한을 설명한다. 하지만 “모든 것을 설명하는 것이 핵심이 아니다. 우리가 설명할 수 있는 것과 없는 것 사이의 경계가 어디에 있는지 아는 것이 핵심”이라고 한다. 저자는 그 경계에 모든 아름다움이 자리 잡고 있다고 말한다. 음악이 나를 울리는 이유, 바다를 보면 황홀해지는 이유, 사랑이 아름다운 이유, 무한이 매력적인 이유도 다 그 경계에 있기 때문이다.

강주화 기자



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